Conozcamos la biografía del autor del más importante libro sobre Matemáticas de la antigüedad: Los Elementos.

Su vida es poco conocida, salvo que vivió en Alejandría(actualmente Egipto) durante el reinado de Ptolomeo I. Ciertos autores árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis:

1. Euclides fue un personaje matemático histórico que escribió Los elementos y otras obras atribuidas a él.
2. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría. Todos ellos contribuyeron a escribir las obras completas de Euclides, incluso firmando los libros con el nombre de Euclides después de su muerte.
3. Las obras completas de Euclides fueron escritas por un equipo de matemáticos de Alejandría quienes tomaron el nombre Euclides del personaje histórico Euclides de Megara, que había vivido unos cien años antes.

Euclides de Alejandría es el matemático más prominente de la antigüedad, famoso por su tratado sobre matemáticas Los elementos.

Euclides dio clases de geometría en Alejandría donde fundó una escuela de matemáticas. Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien encomendó a Euclides escribir una compilación o re fundición completa. El resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Los Cálculos, los Fenómenos, la Óptica, la División del canon (estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido a Euclides.
En los Elementos Las definiciones que emplea son nominales, entre las que encontramos las siguientes:
1 - Punto: "Cosa que no tiene parte"
2 - Línea: "Es una cosa que no tiene sino largo, es una longitud sin ancho"
3 - "Los extremos de líneas son puntos"
4 - superficie es lo que tiene sólo largo y ancho"
5 - Angulo es la inclinación de una línea respecto a otra"
6 - Angulo agudo es aquel menor que el recto y angulo obtuso, el mayor que el recto".

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor.

Obras.

Sin duda la obra más importante de Euclides, y talves de las matemáticas, sea “Elementos”.

El libro comienza con definiciones y postulados. El quinto postulado: por el punto de un plano solo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta, es la base de la geometría Euclidea.
Muchos matemáticos han intentado demostrar este postulado sin conquistarlo. Fue Lobachevski el que dio la solución al problema del quinto postulado: el postulado no puede ser aprobado y lo que es más curioso, si consideramos la proposición opuesta que por un punto del plano se pueden trazar mas de una paralela a una recta dada se pueden desarrollar otra geometría que no contienen contradicción alguna.
El libro esta dividido en trece volúmenes. En los cuatro primeros tomos, se encuentran los teoremas fundamentales de la geometría plana. En el quinto y sexto se desarrolla la teoría de las proporciones y se introducen las magnitudes inconmensurables.

En Alejandría

-          -Euclides enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

-          -Sus ideas nos hacen pensar que estudió en Atenas con discípulos de Platón. Fue llamado desde Alejandría, y allí fundó una escuela en la que realizó su actividad científica y enseño matemáticas durante más de 20 años. Su principal obra es "Elementos de Geometría", conocida como "Los Elementos". Se trata de un extenso tratado formado por trece libros, donde recopila casi todo el saber matemático de la época. Su gran importancia se debe a la forma en que se organizan y exponen los contenidos (método axiomático). Partiendo de una serie de definiciones, nociones y postulados, va demostrando paso a paso todas y cada una de las proposiciones que aparecen en los trece libros, lo cual es un modelo ejemplar de rigor y claridad.

-          -La referencia acerca de la enseñanza de Euclides en Alejandría procede de Papo (Collectio, VII 35): cuenta que, hacia 250, Apolonio había conocido a unos discípulos de Euclides en Alejandría. Ambas referencias cuadran con otras indicaciones. En cambio, sólo descansa en sí mismo el tópico de que Euclides hubiera visitado la Academia platónica.



La geometría antes de Euclides.

La Geometría griega es la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes ideales -un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo...- que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de la regla y el compás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento fueran más justificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.

La figura de Pitágoras y de la secta de seguidores pitagóricos tiene un papel central, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número, arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina.

Esta actitud permitió la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.

Después de Euclides

Euclides cierra la etapa de Geometría griega -a excepción de Pappus en el 350 aC-, y por extensión la etapa del mundo antiguo y medieval-, a excepción también de las figuras de Arquímedes y Apolonio.

Arquímedes estudió amplia mente las secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.

Apolonio trabajó en varias construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y otras curvas.

Postulados de Euclides

Postulados de Euclides:

1. - Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.

2. - Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida.

3. - Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia.

4. - Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

5. - Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos.

-Libro II: El libro II trata de la transformación de áreas y el álgebra geométrica griega de la escuela pitagórica. En ese libro se establece la equivalencia geométrica de diversas identidades algebraicas y una generalización del teorema de Pitágoras conocido como la ley de los cosmos.

-Libro III: Este libro trata de aquellos teoremas relativos a circunferencias, cuerdas, tangente y la medición de ángulos.

-Libro IV: Contempla las exposiciones de las construcciones pitagóricas, con regla y compás de polígonos regulares de tres, cuatro, cinco, seis y quince lados.

-Libro V: Contiene una exposición magistral de la teoría de la proposición aplicable a magnitudes inconmensurables y conmensurables. Teoría que resolvió un escándalo lógico creado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales.

-Libro VI: Se aplica la teoría eudoxiana de la proposición a la geometría plana, se establecen los teoremas fundamentales de unos triángulos semejantes y construcciones que dan la tercera, la cuarta y media proporcionales. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas y la proposición de que la bisectriz interna de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.

-Libro VII, VIII y IX: Estos libros tratan de la teoría elemental de los números.

-Libro X: En este libro se trata de los irracionales, esto es de segmentos rectilíneos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Gran parte del contenido de este libro se cree es debido a Theaetetus, pero lo extraordinariamente completo, la clasificación y el acabado se acreditan a Euclides.

-Libro XI, XII Y XIII: Los restantes libros tratan de la geometría sólida o del espacio, cubriendo la mayor parte del material. Las definiciones, los teoremas acerca de rectas y planos en el espacio y los teoremas relativos a los paralelepipedos se encuentran en el libre XI, los volúmenes se tratan hábilmente en el libro XII y las construcciones de los cinco poliedros regulares se tratan en el libro XIII.

Ptolomeo preguntó una vez a Euclides si había un camino más corto para el conocimiento de la geometría que el de los Elementos, a quien, según se dice Euclides aseguro que no existe ningún camino real a la geometría. Asimismo, existe una leyenda acerca de él que dice que cuando uno de sus alumnos le pregunto que utilidad tenia el estudiar geometría, Euclides ordenó a su esclavo que le diera unas monedas, ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende.

Los tres problemas de la Antigüedad

La Geometría griega es incapaz de resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Los tres problemas debían ser resueltos entonces utilizando regla y compás, únicos instrumentos aceptados en la Geometría de Euclides. Añadido a estos tres problemas, la demostración de si el V postulado es o no es un teorema deducible de los cuatro anteriores se considera además de otro problema clásico de la Geometría helenística el hilo conductor hasta las Geometrías No Euclidianas del siglo XIX. Los tres otros problemas son:

La duplicación el cubo

Pericles muere de la terrible peste que asola Atenas.Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece el oráculo de Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).

La trisección del ángulo

Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado hacerlo.

La cuadratura del círculo

La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos fallaban.

Mensajes:

-         - Un joven que había comenzado a estudiar geometría con Euclides, tras aprender el primero de los postulados, preguntó al maestro "¿Qué es lo que gano yo aprendiendo estas cosas?". Así que Euclides llamó a un esclavo y le dijo "Dale tres monedas, ya que tiene que hacer ganancia de todo lo que aprende." -Stobaeus, Extractos-

-         - Nada sabemos de él. A decir verdad, hoy lo consideramos como una rama del saber más que como hombre» (Alejandría. Sección I, E, [i]. Barcelona, Seix Barral, 1984; p.64).

-         - Casi desde el momento en que se escribió y casi hasta el presente, los "Elementos" han ejercido una continua e importante influencia en los asuntos humanos. Fue la primera fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la llegada de la geometría no euclídea en el siglo XIX. Algunas veces se ha dicho, que junto con la Biblia, los "Elementos" puede ser el libro más traducido, editado y estudiado de todos los producidos en el mundo occidental. (Van der Waerden)
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